第三百八十二章 失落的佩雷尔曼

    2022年2月16日。
    正月十六。
    元宵节刚过。
    沉寂了一个月的江大校园，再次变得喧闹起来。
    一大早，庞学林刚抵达办公室，外面突然传来一阵吵闹声。
    紧接着，庞学林的办公室大门，砰的一下被人推开。
    许久未见的佩雷尔曼急匆匆的闯了进来。
    左亦秋也紧跟着从后面追了上来，说道：“庞教授不好意思，我没拦住这位先生……”
    庞学林微微一愣，笑了起来，说道：“没事，小左，你先出去吧。”
    接着，他将目光转向佩尔曼道：“格里戈里，找我有什么事吗？”
    佩雷尔曼看起来蓬头垢面，满脸大胡子，蜷曲的头发披在脑后，看起来油腻腻的，也不知道多久没洗了。
    他穿了一身棕色的夹克，袖口漆黑一片。
    庞学林有将近四五个月没有见过佩雷尔曼了，两人上次见面还是在江城大学庞学林数学科学研究中心落成挂牌仪式上的时候，佩雷尔曼过来露了个脸，然后就匆匆的离开了。
    最近这一年多的时间，他把全部精力都投入到了霍奇猜想研究中去。
    “庞教授，我证明霍奇猜想了！”
    佩雷尔曼挥舞着手中的稿纸，神情振奋道。
    “证明霍奇猜想了？”
    庞学林微微一愣，霍奇猜想的难度他很清楚。
    在星际穿越世界，他被树老困在五号行星的时候，花了大半年时间攻关过这个猜想，一直没成功。
    他都没想到，在现实世界，佩雷尔曼竟然把这个猜想给解决了。
    “我看看。”
    佩雷尔曼将手中的稿纸递给了庞学林。
    庞学林稿纸，开始一页页的翻阅起来。
    佩雷尔曼也不着急，大马金刀的在一旁的小沙发上坐下。
    没过一会儿，左亦秋端着一杯热气腾腾的咖啡进来，放在了佩雷尔曼生身前。
    随后，左亦秋悄悄将办公室门关上。
    看了将近一个小时，庞学林放下手稿，沉吟片刻，说道：“你这个证明方法有点意思，你的手稿给新一看过了吗？”
    刚刚庞学林把这份手稿浏览了一遍，大概厘清楚了佩雷尔曼的证明思路。，
    不过具体证明过程，还需要仔细研究。
    “还没。”
    佩雷尔曼摇了摇头道。
    庞学林说道：“我把望月新一教授也找来，让他跟着看看吧。”
    说着，庞学林拿起桌上的电话，给望月新一拨了过去。
    半小时后，望月新一急匆匆的来到了庞学林的办公室。
    看到佩雷尔曼也在，望月新一脸上流露出惊讶之色：“说道，格里戈里，你怎么会在这里？”
    紧接着，望月新一似乎想到了什么，眼中流露出不可思议的神色，说道：“你该不会把霍奇猜想给解决了吧？”
    佩雷尔曼这段时间一直在闭关，他是知道的。
    今天他突然过来找庞学林，在加上庞学林打电话给自己，望月新一一下子猜到了佩雷尔曼的来意。
    佩雷尔曼点了点头，没有说话。
    庞学林笑了起来，说道：“新一，这是佩尔曼关于霍奇猜想的证明手稿，你也看一看，是不是有什么问题？”
    说着，庞学林将刚刚复印好，还带着一丝温热的手稿复印件递给了望月新一。
    刚刚在望月新一过来的过程中，庞学林将手稿复印了一边。
    “好！”
    望月新一也不客气，接过手稿，找了把椅子在庞学林的对面坐下。
    庞学林同样拿出一份稿纸，在上面写写画画。
    办公室里安静了下来。
    庞学林和望月新一都在仔细研究者佩雷尔曼的手稿。
    佩雷尔曼自己，则优哉游哉地喝着咖啡。
    他是一个很耐得住性子的人，就算没人跟他说话，他一个人坐着，也能待上一整天。
    时间一分一秒过去，临近中午的时候，庞学林找来左亦秋，让她帮三人订三份外卖。
    吃完饭，庞学林和望月新一继续研究佩雷尔曼的手稿。
    庞学林按照佩雷尔曼的思路，试图将整个霍奇猜想的证明过程从头到尾推演一遍。
    不知不觉间，到了下午三点多。
    望月新一终于抬起头说道：“我感觉整体思路没什么问题，但细节推论，还需要进一步研究。”
    佩雷尔曼不由得松了一口气，脸上露出笑容，将目光转向庞学林道：“庞教授，你怎么看？”
    庞学林没有说话，沉吟片刻，出声道：“格里戈里，你过来一下。在手稿的第五页，引理3.3.4中：??是定义在黎曼流形??4中的区域Ω上无临界点的光滑函数。在区域Ω中??的最速下降线是水平集的正交曲线。换句话说，无临界点函数??的最速下降线就是在区域内切向量场???的积分曲线。这里你准备如何求解水平集和最速下降线曲率？”
    佩雷尔曼沉思片刻，拿起笔，在稿纸上写道：
    【设{???1，???2}是单位正交切标架，若???1是曲线的单位切向量，那么光滑曲线的测地曲率为??=，其中??是曲线的弧长参数.由{???1，???2}是单位正交切标架，测地曲率同样可以表示为??=????1，d???2d??=?div(???2)，这等价于说，光滑曲线的测地曲率是曲线的单位法向量的微分。】
    庞学林淡淡一笑，对佩雷尔曼的解释不可置否，又翻到了第十页，指着上面的证明道：“那这里，在空间形式????中，??是定义在严格凸环??2???1上的调和函数，??连续到??2???1。若??满足??|????1= 1，??|????2=0，那么，就有|???|(??)0，???∈??2???1，并且??的水平集严格凸。你在最后部分是如何给出极值原理的？”
    佩雷尔曼继续解释：【Ω是????中有界连通区域，??∈??2(Ω)????(Ω)，在Ω上考虑算子??????=??????(??)????????+????(??)??????+??(??)??……】
    “那这里呢？??是具有常截面曲率的黎曼流形????上的光滑函数，????????和????分别是????上的 riemannian 曲率张量和 ricci 曲率，那么??????=????????+??????????????和????????=???????????2????????????????+????????????+r??????????……这个如何证明？”
    【取 1 ≤??，??，??，??，??≤??， 1 ≤??≤??+ 1。取????中的正交标架场{???1，???2，……，?????，?????+1}，其中?????+1为外法向，则{???1，???2，……，???i}为切标架场，且???=?????+1，运动方程为……】
    ……
    在一旁观看的望月新一有些奇怪，庞学林怎么老是在黎曼流形问题上打转，而且问的都是一些比较浅显的问题，有些引理或者定义，推导出来是非常显而易见的。
    倒是佩雷尔曼并没有表现出多少不耐烦的神情，基本上庞学林问什么，他就解释什么。
    时间一分一秒过去，不知不觉，又过了一个多小时。
    庞学林终于图穷匕见：“你这里由一个紧致无边的n维流形m的同调群hn（m，z）=0，推出m是不可定向的，然后我们由定理4.6.7可知，所有偶数维的射影空间都是不可定向的，它们的定向二重覆盖空间是同维数的球面，那么我想问一下，定向二重覆盖为环面t^2的克莱因瓶，它的空间曲率是黎曼流形上的光滑函数吗？”
    庞学林这话一出口，不仅佩雷尔曼呆滞了，就连望月新一也呆住了。
    这是一个极为细微的逻辑漏洞，从初始设定一直到四维克莱因瓶的定向问题，相当于霍奇猜想证明全过程的基础。
    假如这一段出现问题了，那么基本上意味着整个证明过程有着重大缺陷。
    但望月新一震惊的并非是这一点。
    而是庞学林竟然能够在这么短的时间内，就察觉到了如此细微的逻辑漏洞。
    要知道佩雷尔曼的手稿一共三十多页，他还省略了很多环节，如果把这部分手稿转换成论文，至少还要再补充一半以上的内容。
    之前望月新一花了将近五小时的时间，才算将这篇论文细细读完。
    要说理解的话，望月新一只能说看明白了佩雷尔曼的整体证明思路，对里面的一些细节，他还要花几天时间研究。
    而庞学林在读完这篇论文的同时，竟然在如此短的时间内，完全理解了佩雷尔曼的证明思路，甚至还发现了其中存在的非常细微的漏洞。
    这里面所展现的惊人思维能力和数学直觉，有些超乎望月新一的想象。
    一般情况下，像佩雷尔曼和望月新一这样的顶尖数学家之间，单从思维能力而言，其实差距并不大。
    真正体现数学家之间差距的是看对方是否具有创造性思维，能不能在别人想不到的领域开辟全新的战场。
    而这一点，就需要长时间的积累以及偶然间的灵光一闪了。
    望月新一原以为，自己和庞学林之间就算存在差距，但是至少在逻辑思维能力上，不存在质的区别。
    但今天，庞学林的表现却完全超出了他的想象。
    这到底是哪来的怪物？
    佩雷尔曼也意识到了这一点，不过此时的他倒没想那么多。
    他从庞学林手中拿过论文的手稿，又从头到尾推演了一遍。
    最终的结果证明，庞学林是正确的。
    佩雷尔曼脸上难掩失落之色，毕竟费了这么大心机，最终却因为一个小漏洞，而前功尽弃，实在是让人有些难以接受。
    不过他还是很快就调整好了心态。
    在数学界，一项研究成果出来之后，被挑漏洞是很正常的事。
    就好比当年的安德鲁·怀尔斯，当年证明费马大定理的时候，也曾被学术界挑出过漏洞。
    只不过后来他又花了一年时间将这个漏洞补齐，才算证明了费马大定理。
    望月新一更是此中好手。
    当初为了证明abc猜想，自己发明了一套宇宙泰西米勒理论，结果学术界谁也看不懂，扯皮了十多年。
    如果不是后来庞学林横空出世，证明这一猜想，说不定，望月新一到现在还在跟数学界的人扯皮。
    “庞，如果没有其他事的话我先回去了，我得好好想想，这个漏洞还有没有补救的办法。”
    三人又聊了会儿天，佩雷尔曼便主动告辞离去。
    看着佩雷尔曼的背影消失在门后，望月新一好奇道：“庞，你觉得佩雷尔曼能证明霍奇猜想吗？”
    庞学林摇了摇头，说道：“不知道，看佩雷尔曼自己能不能补齐那个漏洞了，至少在整体的思路方向上，我觉得没什么问题的。对了，这段时间你的研究怎么样了？”
    自从abc猜想被证明之后，望月新一就将研究方向转向了连续统势领域。
    所谓的连续统势，表述起来很简单，指的是实数集合中到底含有多少个实数?或者说，实数集合的势到底是多大?
    连续统势确定问题是集合论中最古老最基本最自然的一个问题。
    对于(无穷)集合来讲，两个集合等势的充分必要条件是它们之间存在一个一一对应或者双射。
    众所周知，自然数可以被用来作为有限集合所含元素个数的多少的一种度量：两个有限集合等势的充分必要条件是它们含有相同个数的元素。
    因此，每一个有限集合的势都唯一地由一个自然数来确定。
    类似的，无限集合的势也都唯一地由一个基数?α来确定。
    最小的无穷基数是?0 ，它代表着全体自然数所组成的集合的势。
    ?0之后的第一个基数是?1，再其后的第一个基数是?2，然后是?3，等等……
    一般来说，紧接着基数?α之后的基数是?α+1：两个基数?α和?β的大小之比较由它们的下标(序数α和β)的长短来唯一确定。
    每一个自然数n都是一个比? 0 小的基数.对于无限基数来说，?0＜?1＜? 2＜?3＜……
    cantor于1873年12月证明了由全体实数所组成的集合(即连续统)的势至少是?1。
    现在问题出来了：到底哪一个基数?α是连续统的势呢？
    是?1?还是?2，?3，还是别的一个什么?α？
    cantor 当年曾经猜想：连续统的势是第一个不可数的基数?1。
    这就是cantor连续统猜想，也是希尔伯特(hilbert)1900年提出的23个问题中的第一问题。
    望月新一摇了摇头，苦笑道：“我现在只是有个头绪，想要真正搞明白这个问题，估计还要很长时间呢。”
    接着，望月新一又和庞学林聊了一下近期庞氏几何研讨班的问题，这才告辞离去。